果たして偏微分方程式にルンゲクッタ法は使えるか

数学

昔にも偏微分方程式にルンゲクッタ法が使えるか悩んだことがあったが当時は知識が浅かったので使えないという結論に達していた。




また気になったのでまた考えることにした。

  • \frac{\partial u}{\partial t} = \int F(t,x,\xi)u(t,\xi) d\xi

という微分方程式を解くことを考える。ちなみにFをデルタ関数の微分などにすることにより\frac{\partial u}{\partial t} = \hat{F} u(t,x) という形の偏微分方程式は表せる。

方法1 : フーリエ変換をする。

  • F(t,x,\xi)=F(t,x-\xi)と表せる場合を考える。

微分方程式をxでフーリエ変換し

  • \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} = \hat{F}(t,k)\hat{u}(t,k)

を得る。これは常微分方程式であるので普通にルンゲクッタ法で解ける。
ただし、逆変換に要する計算量がバカにならなさそうである…

方法2 : 無理やり・・・？？

xの関数としてとしてk1(x),k2(x),k3(x),k4(x)などを計算して求める・・・

…何回も積分してしかもFがデルタ関数の微分とかなので現実的でない…

んーわからん