共鳴

信号のスペクトラムを見る方法は窓フーリエ変換とウェーブレット変換があるけれど他に作れないのだろうかと考えて、人間の耳のモデルを考えてみることにした。
耳は外から入ってきた空気振動を共振によって読み取って脳に伝えてるわけだから共振の運動方程式を使ってみれば良さそうだと。というわけでこんな方程式を考えてみた。xが元信号でyが変換後という感じ。

  • \left({\frac{d}{dt}-i\omega+k}\right)y=x

ニュートン運動方程式だと二階微分だけれど、物理じゃないので一階でいいかなと思って一階にしておいた。ただしこれだとyも振動するので振動を除くためにyにexp(-iωt)をかけたものをXとおく。そうすると微分方程式

  • \frac{dX}{dt}+kX=x\exp(-i\omega t)

となる。
ちなみにこの微分方程式は解くことができて

  • X=\exp(-kt)\int^{t}_{t_0}{dt' x\exp(-i\omega t'+kt') }

が初期条件X(t_0)=0での解。見方を変えると窓フーリエ変換のようにも見える