メトロポリス法 - aont’s diary

メトロポリス法の正当性が証明できたっぽい。このページを参考にした。http://www.bi.a.u-tokyo.ac.jp/~shimizu/bioinfo/mc.html

メトロポリス法を数学の言葉で書き表わすと…

状態iからjへの遷移確率 $p_{ij}$ が

$p_{ij}=\alpha_{ij} \min(1,\rho_j / \rho_i )$
$p_{ii}=1-\sum_{j \ne i}p_{ij}$

となっているマルコフ過程は状態iの出現確率が $\rho_i$ となる。ここで $\alpha_{ij}$ は

$\alpha_{ij}=\alpha_{ji}\ge 0$
$\sum_{j}\alpha_{ij}=1$

を満たすものとする。

理由は

$\rho_i=\sum_j \rho_j p_{ji}$

が成り立つから。代入して計算すればわかる。この式はどうやって今状態iにいるかを全部足し合わせたもの。よくマルコフ過程で定常状態での確率分布を求めるのに使う式。

実際の物理シミュレーションの場合、 $\rho_i$ が文字通り平衡状態での書く状態のとりうる確率分布、 $\alpha_{ij}$ は状態iからどの状態(状態j)へ遷移してみようとするかを表す確率分布、そして元の状態iから遷移してみようと決めた状態jに実際に遷移する確率が $\frac{\rho_j}{\rho_i}$ となる

メトロポリス法がなぜ用いいられるかというと計算コストの高い分配関数を計算せずに確率分布の比がわかっているだけで平衡状態をシミュレートできるからだろう

参考: メトロポリス・ヘイスティングス法 - Wikipedia