Cayley Hamilton Theorem

数学

ケーリーハミルトンの定理の証明は知らなかったんだけれども、ジョルダン標準形使っても証明できるんだね

A=P\Lambda P^{-1}と標準化して、

  • f\left( A \right) = \prod\limits_i {\left( {A - {\lambda _i}E} \right)} = \prod\limits_i {\left( {P\Lambda {P^{ - 1}} - {\lambda _i}P{P^{ - 1}}} \right)} = P\left\{ {\prod\limits_i {\left( {\Lambda - {\lambda _i}E} \right)} } \right\}{P^{ - 1}}

となって(そもそも一般にf\left( A \right) = Pf\left( \Lambda \right){P^{ - 1}}なんだけどね)、固有値がすべて違えば0になるのは当たり前だろうけど、ジョルダン細胞でも計算すればちゃんと0になる。
正確に書くとジョルダン細胞から対角項を除いた対角の右上に1が並んでる行列を縮退度だけべき乗すると0になることから言える

ジョルダン標準形って応用範囲広いなー