固有ベクトルの正規直交化

今日も研究室の先輩に面接資料を見てもらってた

ほんと、自分ひとりじゃ無理だと思った。…学問って好きなだけじゃ勤まらないね

まえから気になっていたのだが、内積の定義って普通

$\left({\vec{x}\cdot\vec{y}}\right)=\vec{x}^\dag\vec{y}$

だけれど、 $P$ を行列として(ギリシャ文字 $\rho$ の大文字としての $P$ )

$\left({\vec{x}\cdot\vec{y}}\right)=\vec{x}^\dag P\vec{y}$

と定義しても内積の要請は満たされる。ただし $P$ は正定値でないといけない。

そこで、ある固有値問題

$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$

の固有ベクトルによって、普通の内積の意味では直交ではない完全基底 $\left({\vec{u_i}}\right)$ が得られたとしよう。これを先に定義した内積によって、直交基底とすることはできないだろうか？というか実際できる。固有ベクトル $\vec{u_i}$ を並べた行列 $U=\left({\vec{u_1},\vec{u_2},\cdots,\vec{u_n}}\right)$ を考えて、確か

$P={U^{-1}}^\dag U^{-1}$

みたいにすれば直交になる。(もし、 $\left({\vec{u_i}}\right)$ が直交完全基底なら $P=I$ になって普通の内積になる…よね？)

それじゃ、有限次元じゃなくて無限次元…すなわち関数方程式としての固有値問題だったらどうなるだろうか…？Sturm-Liouville型固有値問題とか関係あるみたいね。ただあれは適用範囲が限られているので自分としては満足しない。さーてどうするかな？

追記 : 固有関数が直交する内積の定義 - notes plastiques

ちなみになぜギリシャ文字 $\rho$ の大文字としての $P$ にしたかというと、無限次元での内積の別定義に重み関数 $\rho$ というものを用い、それが行列 $P$ に相当しているからである。
どうでも良いけど、Pをローって読むのって抵抗感ある。でもロシア語だとPってかいてRの発音になるんだよね。ラフマニノフとかね。ロシア語勉強しようかしら

数学のゼミしたいなー
誰か付き合って