ヘルムホルツの定理についての妄想

研究室の輪読で流体中の速度場をDivergence freeな速度場とRotation freeな速度場(とポテンシャル流)の和として分解できるという定理が出てきた

これはつまり、電磁気学ででてくるHelmholtzの定理と同じことを言っている。

ここからは物理は忘れて数学的に見ていこう。Helmholtzの定理とは、3次元のベクトル場Aについて

と分解できるということを主張している定理だ。

ふと思って、この $\bf A_1$ が具体的に表すことができないか？と考えた。どうすれば良いだろうか？
フーリエ変換先の空間で ${\hat{\bf A}}_1$ を次のような形に置く

${\hat{\bf A}}_1 = \left({ {\hat{\bf A}} \cdot \hat {\bf k} }\right) \hat {\bf k}$

こうすれば

$\left({ {\hat{\bf A}} \cdot {\bf k} }\right) =\left({ {\hat{\bf A}}_1 \cdot {\bf k} }\right)$
${\bf k}\times {\bf A}_1=0$

となり、この式を逆変換することで発散はもとのものと一致し回転は0となることが言える。

${\hat {\bf A}}_1$ を逆変換したものは

$\frac{1}{ \left({2\pi }\right)^3}\int {d{\bf{k}}d{\bf{r'}}\left( {{\bf{A}}\left( {{\bf{r'}}} \right) \cdot {\bf{\hat k}}} \right)\exp \left( {i{\bf{k}} \cdot \left( {{\bf{r}} - {\bf{r'}}} \right)} \right)} {\bf{\hat k}}$

と表される。もう少し変形するとi成分は

$\sum\limits_j {\int {d{\bf{r'}}{A_j}\left( {{\bf{r'}}} \right){\frac{1}{ \left({2\pi }\right)^3}\int {d{\bf{k}}\frac{{{k_i}{k_j}}}{{{k^2}}}\exp \left( {i{\bf{k}} \cdot \left( {{\bf{r}} - {\bf{r'}}} \right)} \right)} } }$