フォッカープランク方程式とランジュヴァン熱浴について

粒子にノイズ力を加えることで系の温度を一定値に制御するという事を考えよう。

するとランジュヴァン方程式によって運動方程式が表され、そこから確率分布の時間発展であるフォッカープランク方程式が導かれるであろう。そしてその定常分布が導出されるはずであり、それをある温度のボルツマン分布とあわせることで熱浴として機能させることができるであろう。

フォッカープランク方程式

次のような確率微分方程式を考えよう

$d X_i = b_i\left( {\vec{X}} \right) dt+ \sum_j \sigma_{ij}\left( {\vec{X}} \right) dR_j \left( {t} \right)$

これのフォッカープランク方程式は

$\frac{\partial P}{\partial t}\left({\vec{x};t}\right) = - \sum_i \frac{\partial }{\partial x_i} \left[ { b_i\left( {\vec{x}} \right) P\left({\vec{x};t}\right) } \right] + \frac{1}{2} \sum_{ijk} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} \sigma_{ik}\left( {\vec{x}} \right) \sigma_{jk}\left( {\vec{x}} \right) P\left({\vec{x};t}\right)$

となります。あってるかあまり自信ないです。導出は任意の関数 $F\left( { \vec{x} } \right)$ に対して

$E\left[ { \frac{dF \left( { \vec{X} } \right) }{dt}} \right] = \int F\left( { \vec{x} } \right) \frac{\partial P}{\partial t}\left( { \vec{x} ; t} \right) d\vec{x}$

が成り立つことを使います。伊藤の補題とか使います。

ランジュヴァン方程式

多体系のランジュヴァン方程式を考え出すとよくわからなくなるのでまずは一粒子のある一次元ポテンシャル中のランジュヴァン方程式を考えます。

$m \frac{d^2 x}{dt} = -\frac{\partial V}{\partial x}\left( {x } \right) -\gamma \frac{dx}{dt} + \sigma\frac{dR}{dt} \left( {t } \right)$

二階微分方程式のフォッカープランク方程式ってどうなるのでしょう…正準方程式もどきに書き換えてみましょう

$\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial V}{\partial x}\left( {x } \right) -\frac{\gamma}{m} p + \sigma\frac{dR}{dt} \left( {t } \right)$
$\frac{dx}{dt} = \frac{p}{m}$

となりますね。これで前節の式に当てはめてフォッカープランクに書き直せます。

$\frac{\partial P}{\partial t}\left( {x,p;t} \right) = - \frac{\partial}{\partial p} \left\{ { \left[ { -\frac{\partial V}{\partial x} - \frac{\gamma}{m} p } \right] P} \right\} - \frac{\partial}{\partial x} \left( { \frac{p}{m}P } \right) + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 P}{\partial p^2}$

これの定常解を求めるのが目的なので時間微分を無視しましょう。
また温度制御なので位置に関する分布は不要なので位置について積分しましょう。
問題なのが $\int \frac{\partial V}{\partial x} P dx$ ですが、これは粒子がある速度であるという条件化での力の平均となります。ここは思いきって定数にしてしまいましょう。妥当性はよくわからないです。またPは十分遠方で0になるとしましょう。
すると