与えられたものを鵜呑みにしてはいけない

塾で質問されて面白いなと思った問題。うろ覚えで不正確なので悪しからず。

1個目。
2つの2次関数 $y=x^2+ax+b$ 、 $y=x^2+cx+d$ とそれらの共通接線がある。共通接線と2次関数の接点のx座標をそれぞれ、 $\alpha$ 、 $\beta$ とおく。2つの2次関数の共有点のx座標を $\gamma$ とおく。このとき $\gamma = \displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2}$ であることを示せ。

2個目。
3次関数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ があり、その上に点がある。その点での接線と3次関数の囲む面積を $S_1$ とする。またその点を通る3次関数の接線と3次関数の囲む面積を $S_2$ とする。 $S_1$ と $S_2$ の比をもとめよ。