確率解析

ふと幾何ブラウン運動のフォッカープランク方程式がどうなるのか気になった。幾何ブラウン運動だと拡散係数が位置に依存するからすこし変になってくるかもしれない。というか一般的な確率微分方程式

  • dX = \mu(t,X) dt +  \sigma(t,X) dW

のフォッカープランク方程式ってどうなるのだろう…?拡散係数が位置に依存しないものならばいろんな所に書いてあるのだけれど、拡散係数が位置依存するとよくわからないなー。また自分で導出してみようかなぁ…(そんな暇は…)

答えは

  • \frac{\partial P}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}\left({\mu P}\right) +\frac12\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \left({\sigma^2 P } \right)

だそうです(数値確率解析入門より)

証明は任意のxの関数qに対して\frac{d}{dt}E\left[{q\left({X_t}\right)}\right]を2種類の方法で計算して、qの任意性を利用して・・・

微小時間後の分布を考えて出したのはなんで合わなかったんだろう…