連続体の解析力学

物工専門物理14年度第1問は地雷だw

膜の形状を考える問題。最初の問で力学的に波動方程式を求めさせているのだが、その後から解析力学を使って波動方程式を導かせる。問題自体はちゃんと解けば特に引っかかることはないのだが、あまり理解できてないせいかしっくり来ない…

まず、よーくみると今まで知っていた解析力学とはちょっと違うのだ。いままでの場合一つの粒子に注目しているが、今回は連続体なのだ!

だから問題にもあるようにラグアンジアン密度という量が出てきてそれを空間積分してラグランジアンとし、さらに時間積分することで作用としている。

自分でもよく分からないが、何かがしっくりこない…





この問題をやっていて思い出したのが"Stochastic variational derivations of the Navier-Stokes equation"だ

これは前にも取り上げたが、確率変分法という手法でナヴィエストークス方程式を導出している。ただこれもしっくりきていない…
そこで、確率的な部分を除いたら粘性項がなくなるということだったので、それをまた再考してみることにした
それによると

  • \frac{{dx}}{{dt}} = v\left( {{x},t} \right)

という方程式から変分法を用いて、作用

  • S = \int {dt \left[ {\frac{1}{2}\rho {{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} - P\left( {x} \right)} \right]}

を最小化すると

  • \rho \left\{ {\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + v\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right\} =  - \frac{\partial P}{\partial x}

が得られる。というのだ。





よーく考えてみたのだが、なにがしっくりこないのか多分わかった。
上の言い回しは飛躍しすぎていてミスリーディングである。本当に言いたいことはこうなのではないだろうか?
方程式

  • \frac{{dx}}{{dt}} = v\left( {{x},t} \right)

の解について、vを変えていくと関数xも変化していく。その変分をもって作用の変分を計算し最小化するとNS方程式もどきが得られる。
うえの言い方だとなにを変化させるのかちゃんといっていない。vを求めたいからvでの変分を考えなきゃいけないのだ!あと、xとvは普通とは違い独立に変化させることは許されず、最初に提示した方程式を満たしながら変化しなくてはいけない。

これですっきりした気がする。

でも確率変分法はまだよく分からない。そもそも共役確率微分とかの概念が抽象的で難しい…





しっくりこないのはきっとどこかでコンパイルエラーを起こしているんだと思う。型チェックとか重要。




ちなみに、「ひもの解析力学」でぐぐると参考になるサイトが出てきます(笑)
追記 いつのまにかこのサイトがトップになってしまったのでタイトルを「連続体の解析力学」に変えておいた



僕がやりたいのは物理じゃなくて、数理科学なのかも