ヘルムホルツの定理についての妄想 その２

数学 物理

「ヘルムホルツの定理についての妄想」では

  • \frac{1}{ \left({2\pi }\right)^3} \int d\bf{k}\frac{k_i k_j}{k^2}\exp \left({i{\bf{k} \cdot {\bf{r} } \right)

が計算できれば良い、というところまで行った。ところで、この積分とにらめっこしていると

  • -\frac{1}{ \left({2\pi }\right)^3} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}\int d\bf{k} \frac{\exp \left({i {\bf{k}} \cdot {\bf{r}} }\right) }{k^2}

と一致することに気づく。つまり積分

  • \int d\bf{k} \frac{\exp \left({i {\bf{k}} \cdot {\bf{r}} }\right) }{k^2}

を計算すればよい。kの球座標を{\bf e}_k = \hat {\bf r}となるようにとり、変数変換すると

  • \int \exp \left({i kr \cos\theta }\right) \sin\theta dk d\theta d\phi

となります。\phiの積分で2\piが掛かり、さらに\thetaの積分を実行すると

  • \frac{4\pi}{r} \int_0^\infty \frac{\sin kr}{kr} rdk = \frac{4\pi}{r} \int_0^\infty \frac{\sin \xi}{\xi} d\xi

と、sinc関数が出てきました。sinc関数の積分は…えっと…どうやるんだっけ？(汗) 昔もできなくてなえたのにまた忘れてるとは！ ちなみに\frac{\exp(iz)}{z}の積分を考えることで計算できます。 とりあえず、計算すると

  • \frac{2\pi^2}{r}

になります。つまり、求めたかった積分は

  • \frac{1}{ \left({2\pi }\right)^3} \int d\bf{k}\frac{k_i k_j}{k^2}\exp \left({i{\bf{k} \cdot {\bf{r} } \right) =-\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} \frac{1}{r}

となる。つまり、Rotation Freeな場を求めるにはこれを畳み込めば良い。



ところで、この結果は「http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/HelmholtzTheorem/」の式(2)と一致するのだろうか？

  • -\frac{1}{4\pi} \int d{\bf r'} \frac{\partial^2}{\partial x'_i \partial x'_j} \frac{1}{r'} A_j\left({ {\bf r} - {\bf r'}}\right)
  • =-\frac{1}{4\pi} \int d{\bf r'} \frac{1}{r'} \frac{\partial^2}{\partial x'_i \partial x'_j} A_j\left({ {\bf r} - {\bf r'}}\right)
  • =-\frac{1}{4\pi} \int d{\bf r'} \frac{1}{r'} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} A_j\left({ {\bf r} - {\bf r'}}\right)
  • =-\frac{1}{4\pi} \frac{\partial}{\partial x_i} \int d{\bf r'} \frac{1}{r'} \frac{\partial}{\partial x_j} A_j\left({ {\bf r} - {\bf r'}}\right)

つまり

  • -\frac{1}{4\pi} \nabla \int d{\bf r'} \frac{1}{r'} \nabla \cdot {\bf A}\left({ {\bf r} - {\bf r'}}\right)

となり、一致しますね。