連続フーリエ変換の離散化について妄想

適当に…

連続フーリエ変換

  • f(\omega ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \exp \left( { -i \omega t } \right) dt

区分求積法で近似

  • f(\omega ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \sum_{n=-N}^{N} f\left( { n \Delta t } \right) \exp \left( { -i \omega n \Delta t } \right) \Delta t

離散点 \omega_m = m \Delta \omegaでだけ求めることにする

  • f(\omega_m ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \sum_{n=-N}^{N} f\left( { n \Delta t } \right) \exp \left( { -i m n \Delta t \Delta \omega } \right) \Delta t

ここで

  •  \Delta t \Delta \omega = {\frac{2\pi}{N}}

と取れば

  • f(\omega_m ) = \frac{\Delta t}{\sqrt{2\pi}}  \sum_{n=-N}^{N} f\left( { n \Delta t } \right) \exp \left( { -i \frac{2\pi}{N} m n  } \right)

となり、離散フーリエ変換になりましたね。


これで良いのだろうか…

これで平滑化したヒストグラムの計算もできますね…?
端と端が同じ値でない系列は鏡映したものをつなげると連続になってよい…かもしれない…!?