一度の三角関数にむけて

今日は塾バイトの日。数学を教えていたら、ふと一度の三角関数の厳密値ってどうなるんだろうと気になって調べてしまった。

もちろん半角と三分の一角の三角関数は、倍角公式を使って方程式を解けば計算可能だ。

半角だったら

$2\cos^2 \theta-1=\cos 2\theta$
$- 2\sin^2 \theta + 1=\cos 2\theta$

三分の一角だったら

$4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = \cos 3 \theta$
$- 4 \sin^3 \theta + 3 \sin \theta = \sin 3 \theta$

三次方程式までなら、Wolfram先生に頼めば厳密解を解いてくれます。

Wolfram|Alpha: Computational Intelligence

でも五分の一角は…五次方程式だから無理…

というわけで、360=2*2*2*3*3*5なので、五度の三角関数まで頑張って計算させてみた。（360とは書いたけれど30度の三角関数から始めた。）

Cos[5 deg] = Sqrt[(1/2) (1 + (1/2) Sqrt[(1/2) (4 + 2/((1/2) (1 + I Sqrt[3]))^(1/3) + 2^(2/3) (1 + I Sqrt[3])^(1/3))])]
Sin[5 deg] = Sqrt[1 + (1/2) (-1 - (1/2) Sqrt[(1/2) (4 + 2/((1/2) (1 + I Sqrt[3]))^(1/3) + 2^(2/3) (1 + I Sqrt[3])^(1/3))])]

cos(5 deg) =
sin(5 deg) =

すごい汚い…笑

虚数単位が入ってくるのは仕方ないのだっけ。たしか三次関数の解で、解自体は実数だけど、どうしても表式に虚数単位が入ってしまうっていうのがあったような。不思議ねぇ。

一度はどうやっても無理なのかなあ

追記
72度の三角関数を忘れていた。

六度が計算できた。

Cos[6 deg] = Sqrt[7 + Sqrt[5] + Sqrt[6 (5 + Sqrt[5])]]/4
Sin[6 deg] = (-1 - Sqrt[5] + Sqrt[30 - 6 Sqrt[5]])/8

あとは加法定理で…

あれ、Wolfram先生が働いてくれない…苦笑