変数分離法の正当性について

数学

偏微分方程式を解くときに変数分離法を使うことがある。この変数分離法がどうして正しいのか自分なりに考えてみた。ネットで調べてみると「物理学者の直感だ」とか「そうするとうまくいく」だとかみんな適当なことを言っているのを見ていらっとしたので…あくまで物理は関係なくて数学的に！
でも厳密なことはよくわからないので適当です。
x,yを独立変数、\hat{X},\hat{Y}をそれぞれx,yの線形作用素とする。
そこで、次の方程式を解く事を考える。

  • \hat{X}\psi\left({x,y}\right)=\hat{Y}\psi\left({x,y}\right)

これが普段よく遭遇する線形偏微分方程式に相当することを注意しておく。


まず線形作用素\hat{X}の固有関数が線形独立な完全基底をなすことを仮定し、それを用意する。(対角化可能な作用素であることを仮定している)

  • \hat{X}\alpha_i\left({x}\right)=\lambda_i\alpha_i\left({x}\right)

すると、解が存在するものとして、完全性を使うと次の表式を得る。

  • \psi\left({x,y}\right)=\sum_i{\beta_i\left({y}\right)\alpha_i\left({x}\right)}

そこで、これを解きたい方程式に代入すると

  • \sum_i{\beta_i\left({y}\right)\lambda_i\alpha_i\left({x}\right)}=\sum_i{\hat{Y}\beta_i\left({y}\right)\alpha_i\left({x}\right)}

そこで\alpha_iの固有ベクトルが線形独立な完全基底をなすと仮定して、使うことで

  • \hat{Y}\beta_i\left({y}\right)=\lambda_i\beta_i\left({y}\right)

を得る。これは\hat{Y}についての固有方程式である。



つまりまとめると、解は

  • \psi\left({x,y}\right)=\sum_i{\beta_i\left({y}\right)\alpha_i\left({x}\right)}
    • \hat{X}\alpha_i\left({x}\right)=\lambda_i\alpha_i\left({x}\right)
    • \hat{Y}\beta_i\left({y}\right)=\lambda_i\beta_i\left({y}\right)

で与えられるということがわかった。これで変数分離法の正当性が証明されました…多分


関数解析ちゃんと勉強したほうが良いなと思った